Team:SupBiotech-Paris/Modeling du traitement

= Modélisation de l'efficacité du DVS sur une tumeur du poumon =

Contexte
Le cancer du poumon non à petites cellules, ou NSCLC, est un cancer dit agressif, avec une vitesse de développement relativement forte. Les traitements sont souvent inefficaces, car le développement de la tumeur est plus rapide que son élimination par les médicaments.

Objectif
Nous avons décidé de modéliser l’efficacité de notre traitement face à ce type de tumeur. Pour cela, nous avons modélisé l’évolution de la tumeur, l’évolution de notre traitement et son efficacité. L’objectif de la modélisation est de vérifier si notre traitement est capable d’éliminer la tumeur dans son intégralité.

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Segmentation du modèle
Pour commencer, il a fallu retracer le schéma d’action complet du DVS et l’évolution de la tumeur. Ensuite, pour chaque étape du traitement, nous avons identifié l'ensemble des paramètres qui entrent en jeu, leurs actions et leurs interactions, afin de déterminer les équations du modèle.

Pour simplifier l’équation, tout en dressant un modèle réaliste, il nous a fallu découper chaque étape et les modéliser séparément.

Première étape : le développement de la tumeur en fonction du temps
On considère la tumeur non métastasique et sa croissance exponentielle. Soit une tumeur de volume V1 en cm3 à un instant t1. Soit la même tumeur, à un instant t2, avec un volume V2. La tumeur est considérée en phase de croissance exponentielle et sans métastase donc l’équation qui régit son développement, le Tumor Growth Rate (TGR), est égal à :

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Ainsi, le Volume de la tumeur en fonction du temps (V(t)) est égal à :

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Enfin, connaissant le Volume moyen d’une Cellule Cancéreuse (Vcc) (obtenu expérimentalement), on peut déterminer, si l’on considère la tumeur comme pleine (c'est-à-dire sans cavité ou vaisseau sanguin), que le Nombre de cellules cancéreuses en fonction du temps (Nc(t)), sans action du traitement, est égal à :

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Deuxième étape : Le développement du vecteur tissulaire
Le vecteur tissulaire est injecté au patient à un temps t, proche de t2. Le Nombre de vecteurs injectés (Nbi) est de 1x10^6. Le tropisme pulmonaire du vecteur n’est pas parfait, seul un Pourcentage (Pp) va au poumon. Le nombre total de vecteurs tissulaires dans le corps augmente, car ce vecteur est de type bactérien et possède donc un Temps de Doublement (DTB). On peut ainsi établir que le Nombre de vecteurs tissulaires dans les poumons (Nb(t)) est égal à : center|330px

Le nombre de vecteurs tissulaires augmente jusqu’à l’injection de la doxycycline, où dès lors ces derniers sont lysés pour libérer les vecteurs cellulaires dans le poumon.

Ce temps d’injection n’est pas anodin. En effet, si l’on attend suffisamment longtemps, le nombre de vecteurs tissulaires est suffisant pour éliminer la tumeur ou du moins la réduire de façon importante. A l'inverse, si l'on attend trop longtemps, une dose de doxycycline plus importante (et donc potentiellement toxique) est nécessaire pour libérer les vecteurs cellulaires.

On peut ainsi se servir de la modélisation pour déterminer le Temps optimal d’Injection de la doxycyline (Tdox).

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Troisième étape : La libération du vecteur cellulaire
Une fois la doxycycline injectée, le vecteur cellulaire est libéré. Le nombre de vecteurs cellulaires est proportionnel au nombre de vecteurs tissulaires dans le poumon. Or, on sait que la valeur moyenne de Phages recombinants libérés par M. avium (Npl) est égale à 100. On peut écrire que le Nombre de vecteurs cellulaires au moment de l’injection (Np(Tdox)) est égal à : center|200px

Le nombre de vecteurs cellulaires ne croit pas comme pour le vecteur tissulaire. En effet, il décroit au fur et à mesure du temps, à cause de la stabilité du phage et de son internalisation cellulaire (pour libérer le plasmide thérapeutique). Sa stabilité sanguine est égale à la Constante de Dégradation du phage (kdeg) en fonction du temps. Si l’on ajoute cette constante dans l’équation du Nombre de vecteurs cellulaires en fonction du temps (Np(t)) on obtient la formule suivante : center|300px

Les étapes de dispersion du phage dans la tumeur et d’internalisation cellulaire sont traitées à part entière Quatrième et Cinquième étape ci dessous) en raison de leur complexité.

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Efficacité du DVS
Nous avons donc déterminé :
 * La taille de la tumeur en fonction du temps (volume initial + croissance)
 * La quantité de vecteurs tissulaires en fonction du temps
 * La quantité de vecteurs cellulaires libérés pour un vecteur tissulaire

Nous allons maintenant déterminer l’efficacité avec laquelle les vecteurs cellulaires pénètrent les cellules cancéreuses. Pour cela nous étudions :
 * La zone de dispersion du vecteur cellulaire
 * L’importance de l’internalisation du vecteur cellulaire dans les cellules cancéreuses.

Quatrième étape : La dispersion du vecteur cellulaire
On cherche ici à déterminer la zone maximale que le phage peut couvrir. Il faut pour cela connaitre :
 * La propagation des phages dans le système sanguin
 * Leur diffusion à travers les parois des vaisseaux sanguins
 * La surface d’une cellule cancéreuse

Pour notre modélisation, on considère le sang comme un ‘’’fluide newtonien possédant une vitesse Vmax constante au cours du temps’’’. On néglige ici, les à-coups cardiaques et les flux turbulents liés aux cavités de l’épithélium sanguin.

Le vecteur cellulaire se déplace selon deux axes. Un axe X dans le sens du flux sanguin et un axe Y, orthogonal à l’axe X.



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La propagation des phages dans le système sanguin.
Le déplacement ‘’’en X ‘’’ dépend, uniquement de la ‘’’propagation des phages ’’’ dans le vaisseau grâce au débit sanguin. En effet, on néglige la diffusion qui a lieu également selon l'axe X car elle est 1000 fois inférieure à la propagation des particules dans le sang (liée à l'importance du flux sanguin). Les vecteurs cellulaires se déplacent à différentes ‘’’vitesses réparties de façon parabolique’’’ allant de, Vmax au centre du vaisseau, à V0 contre la paroi du vaisseau.



Les vitesses des phages phages diminuent en se rapprochant des parois du vaisseau à cause des forces de frottements qui s'opposent au mouvement.

On peut donc déterminer en combien de temps la particule ayant une vitesse Vmax, c'est-à-dire la particule au centre du vaisseau, en atteint l'extrémité. On obtient ainsi le temps nécessaire à l’internalisation de tous les phages d’une bactérie.

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La diffusion à travers les parois des vaisseaux sanguins
Le déplacement en Y représente la diffusion du phage dans le sang (j(n)). Il dépend de l'équation de la diffusion d'une particule (n) dans un fluide (Loi de Fick).



Avec n, le nombre de particules (phages ), grad n, la différence de concentration et D, le coefficient de diffusion. La diffusion des vecteurs cellulaires à l’intérieur du vaisseau sanguin puis à travers la paroi est un phénomène de diffusion avec sortie. Par conséquent, il y aura toujours un fort gradient de concentration du phage dans le sang. On peut donc dire que le gradient est constant (et égal à 1) au cours du temps. Ainsi la vitesse de diffusion (j(n)) est égale à D.

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Zone de dispersion du phage
Lorsque l'on associe le déplacement ‘’’en Y’’’ (‘’’vitesse de diffusion’’’) et le déplacement ‘’’en X’’’ (‘’’vitesse du flux sanguin’’’), on obtient, après intégration sur le ‘’’périmètre d'un vaisseau sanguin’’’, la surface d’action des vecteurs cellulaires. On est alors capable de connaître le nombre de cellules cancéreuses détruites pour 100 vecteurs cellulaires ou 1 vecteur tissulaire.

La vitesse de diffusion du vecteur cellulaire est égale à 0,5µm.s-1 or la taille d’un capillaire sanguin est de 10µm de diamètre. La particule la plus éloignée met donc 10s à atteindre la paroi du vaisseau.

Grâce à cette ‘’’durée de diffusion’’’ (10s) et à la ‘’’vitesse du flux sanguin’’’ (1x10^3µm.s-1) dans les capillaires, et à la surface d’une cellule cancéreuse (1 µm²) on peut déterminer :
 * La’’’ longueur (L)’’’ couverte par les vecteurs cellulaires libérés par un vecteur tissulaire
 * La ‘’’surface (S)’’’ occupée par les phages dans un vaisseau sanguin de diamètre 2r.
 * La quantité de cellules cancéreuses accessibles.

L = 1 x 10^4 µm 2r = 10 µm S = 2 π x L x r = 31,4 x 10^4 µm²

Ainsi, un vecteur tissulaire peut potentiellement cibler plus de 31 000 cellules cancéreuses, or, il ne possède que 100 vecteurs cellulaires. On peut effectuer une simplification en disant que 100 vecteurs cellulaires détruisent 100 cellules cancéreuses. L’efficacité de la dispersion est donc totale.

Pour le phage, une fois la paroi atteinte, entre en jeu l’internalisation cellulaire. Ce modèle répond à deux schémas d’action.

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Cinquième étape : L’internalisation du vecteur cellulaire
Une fois au contact de la cellule, le vecteur cellulaire a deux schémas d’action possibles.
 * Le vecteur se fixe puis il se détache de la cellule.
 * Le vecteur se fixe puis il se fait internaliser au sein de la cellule.

On peut modéliser cela en fonction du temps et des Constantes d’Association (kon), de Dissociation (koff) et d’Internalisation (kint).

On obtient ainsi: center|280px

Avec kon = 5.10^3 M^-1s^-1, koff = 8.10^-3 s^-1 et kint = 5,78.10^-4 s^-1. Si l’on calcule la constante globale K’, telle que IDP = K’ x t, on obtient K' = 361,5s^-1 Ainsi plus de 360 phages sont internalisés par seconde au contact d’une paroi.

Si l’on compare le temps nécessaire pour internaliser un phages, par rapport au temps d’attente avant que la cellule n’entre en apoptose suite à l’entré d’un vecteur cellulaire (1 heure), il apparait logique de négliger l’internalisation des vecteurs cellulaires (IDP = cte = 360 phages/s ) dans l’équation finale.

Ainsi, avec une efficacité totale de la diffusion des phages, et un temps d’internalisation négligé, on peut dire que la constante d’efficacité λ est égale à 1.

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Evolution en simultanée du DVS et d'une tumeur
L’équation d'évolution de notre modèle en fonction du temps est égale à : center|700px Avec : - Nc(t), le nombre de cellules cancéreuses dans le temps, - V(t), le volume tumoral, - V1 et V2, deux volumes tumoraux à respectivement des temps t1 et t2, - Vcc, le volume d’une cellule cancéreuse, - Nbi, le nombre de vecteurs tissulaires injectés, - Pp, le pourcentage pulmonaire de vecteurs tissulaires par rapport à la dose injectée, - DTB, le temps de doublement du vecteur tissulaire, - tinj, le temps d'injection du vecteur tissulaire, - Npl, le nombre de vecteurs cellulaires libérés par bactérie. On peut négliger (aux vues des différences entre les échelles de temps ou d’espace) certains facteurs : - Kdeg, la constante de dégradation du phage, car tous les phages sont internalisés en 10s.

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Simulation de traitement
Le DVS est un système à double injection:
 * Injection du DVS
 * Injection de l'activateur, la doxycycline.

Voici un simulateur, qui calcule à quel temps doit-on injecter la doxycycline pour éliminer la tumeur dans son intégralité.



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