Team:SupBiotech-Paris/Modeling du traitement

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Contexte

Le cancer du poumon non à petites cellules, ou NSCLC, est un cancer dit agressif, avec une vitesse de développement relativement forte. Les traitements sont souvent inefficaces, car le développement de la tumeur est plus rapide que son élimination par les médicaments.

Objectif

Nous avons décidé de modéliser l’efficacité de notre traitement face à ce type de tumeur. Pour cela, nous avons modélisé l’évolution de la tumeur, l’évolution de notre traitement et son efficacité. L’objectif de la modélisation est de vérifier si notre traitement est capable d’éliminer la tumeur dans son intégralité.

Segmentation du modèle

Pour commencer il a fallu retracer le schéma d’action complet du DVS et l’évolution de la tumeur. Ensuite, dans chaque étape du traitement, il a fallu identifier tous les paramètres qui entrent en jeu et analyser leur action les uns par rapport aux autres afin de déterminer les équations du modèle.

Pour simplifier l’équation tout en dressant un modèle réaliste, il nous a fallu découper chaque étape et les modéliser séparément.

Première étape : le développement de la tumeur en fonction du temps

On considère la tumeur non métastasique et sa croissance exponentielle.
Soit une tumeur de volume V1 en cm3 à un instant t1.
Soit la même tumeur, à un instant t2, mais avec un volume V2.
La tumeur est considérée en phase de croissance exponentielle et sans métastase donc l’équation qui régit son développement, le Tumor Growth Rate (TGR), est égale à :

Ainsi, le Volume de la tumeur (Vc), à un instant t, est égal à :

Enfin, connaissant le volume moyen d’une cellule cancéreuse, valeur obtenu expérimentalement, on peut déterminer, si l’on considère la tumeur comme pleine, c'est-à-dire sans cavité ou vaisseau sanguin, que le Nombre de cellule cancéreuse en fonction du temps (Nc(t)), sans action du traitement, est égal à :

File:Nc(t).jpg

Avec Vcc le volume d’une cellule cancéreuse.

Deuxième étape : Le développement du vecteur tissulaire

Le vecteur tissulaire est injecté au patient à un temps t, proche de t2. Le Nombre de vecteur injecté (Nbi) est de 1x10^6. Le tropisme pulmonaire du vecteur n’est pas parfait, seul un Pourcentage (Pp) va au poumon. Le nombre totale de vecteur tissulaire dans le corps augmente, car ce vecteur est de type bactérien et possède donc un Temps de Doublement (DTB).
On peut donc établir que le Nombre de vecteur tissulaire dans les poumons est égal à :

Cette évolution dans le temps à une fin, puisqu’à l’injection de la doxycycline les vecteur tissulaire sont lysés pour libérer les vecteur cellulaire dans le poumon.
Ce temps d’injection n’est pas anodin, car si l’on attend suffisamment longtemps le nombre de vecteur tissulaire sera suffisant pour éliminer la tumeur ou du moins la réduire de façon importante.
On peut ainsi se servir de la modélisation pour déterminer le Temps optimal d’Injection de la doxycyline (Tinj).

Troisième étape : La libération du vecteur cellulaire

Le vecteur cellulaire est libéré une fois la doxycycline injecté. Le nombre de vecteur cellulaire est proportionnel au nombre de vecteur tissulaire dans le poumon. Ainsi, on sait que la valeur moyenne de Phage recombinant libéré par M. avium (Npl) est de 100.
On peut écrire que le Nombre de vecteur cellulaire au moment de l’injection (Np(Tinj)) est égal à :

Mais, le vecteur cellulaire n’est pas stable dans le temps, de plus il est internalisé dans les cellules pour libérer le plasmide thérapeutique.
Sa stabilité sanguine est égale à la Constante de Dégradation du phage (kdeg), ainsi, si l’on implémente cette dégradation dans l’équation de Np(t) on obtient la formule suivante :

L’étape de dispersion du phage dans la tumeur et celle d’internalisation cellulaire, en vue de leur complexité, représente une étape chacune.

Quatrième étape : La dispersion du vecteur cellulaire

On considère le sang comme un fluide newtonien avec une vitesse Vmax fixe au cours du temps, c'est-à-dire qu’on néglige les à-coups cardiaque et les flux turbulents liés aux cavités de l’épithélium sanguin.
Le vecteur cellulaire se déplace selon deux axes. Un axe X dans le sens du flux sanguin et un axe Y, orthogonal à l’axe X.
Le déplacement en X est dépend uniquement de la propagation du flux sanguin dans le vaisseau. Ainsi, les phages se déplacent à différentes vitesses réparties de façon parabolique, allant de Vmax au centre du vaisseau à V0 sur la paroi du vaisseu.
En revanche, le déplacement en Y est dépendant de la diffusion du phage dans le sang, non du flux sanguin. Ainsi, le déplacement en Y dépend de l’équation de diffusion d’une particule dans un fluide.

Avec n, le nombre de particule, et D, le coefficient de diffusion.
On peut donc déterminer en combien de temps la particule de vitesse Vmax, c'est-à-dire la particule la plus loin de la paroi du vaisseau, atteint le bord. On obtient le temps nécessaire à l’internalisation de tous les phages d’une bactérie.
Couplé au déplacement en X, c'est-à-dire à la vitesse du flux sanguin, et intégré sur le périmetre d’un vaisseau sanguin, on obtient la surface d’action des vecteur cellulaire issu d’un vecteur tissulaire. Par cette équation on sait combien de cellules cancéreuses sont détruit pour 100 vecteur cellulaire ou 1 vecteur Tissulaire

Une fois chaque phage ayant atteint la paroi, entre en jeu l’internalisation dont le modèle répond à deux schéma d’action.

Cinquième étape : L’internalisation du vecteur cellulaire

Une fois au contact de la cellule, le vecteur cellulaire a deux schémas d’action. Le premier schéma, le vecteur se fixe puis il se détache de la cellule. Le second schéma, le vecteur se fixe puis il se fait internaliser au sein de la cellule. On peut modéliser cela en fonction du temps et des Constantes d’Association (kon) , de Dissociation (koff) et d’Internalisation (kint) .

On obtient :

Une fois internalisé, le plasmide thérapeutique engendre l’apoptose de la cellule en 1h, diminuant le le nombre de cellule cancéreuse Nc(t) et le volume tumoral Vc.

Simplification du modèle

Nous pouvons réduire certaine étape à une constante.
Les étapes les plus courtes, en échelle de temps, sont certainement les étapes concernant le phage. L’internalisation est la plus courte d’entre elle, selon les constantes plus de 320 vecteur cellulaire sont internalisés par seconde au contact d’une paroi.
On peut ainsi réduire cette équation en fonction du temps à une simple constante. Pour ce qui est de la propagation, la vitesse de diffusion du vecteur cellulaire D est égale à 0,5µm.s-1 or la taille d’un capillaire sanguin est de 10µm de diamètre. Donc la particule la plus éloignée met 10s à toucher une paroi du vaisseau.
Grâce à ce temps et connaissant la vitesse du flux sanguin dans les capillaires, soit 1x10^3µm.s-1, on peut déterminer que les vecteur cellulaire libérés par un vecteur tissulaire couvrent une zone de 1x10^4µm de longueur (L), pour 10µm de diamètre (2r), soit une surface égale à 2π x L x r., égale à 31,4x10^4µm². Un vecteur tissulaire peut cibler potentiellement plus de 31 000 cellules cancéreuse, or, il ne possède que 100 vecteur Cellulaire. On peut simplifier l’équation en disant que 100 vecteur cellulaire détruisent 100 cellules cancéreuse et donc réduire l’équation de dispersion.

L’équation finale de notre modèle en fonction du temps est égale à :

Simulation de traitement

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 Une fois au contact de la cellule, le [[Team:SupBiotech-Paris/Concept2Fr#drapeau|vecteur cellulaire]] a deux schémas d’action. Le premier schéma, le vecteur se fixe puis il se détache de la cellule. Le second schéma, le vecteur se fixe puis il se fait internaliser au sein de la cellule.
 On peut modéliser cela en fonction du temps et des '''Constantes d’Association (kon) ''', de '''Dissociation (koff) ''' et d’'''Internalisation (kint) '''.<br>
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+On obtient : [[Image : EqInt.jpg|center|280px]]
 Une fois internalisé, le plasmide thérapeutique engendre l’apoptose de la cellule en 1h, diminuant le le nombre de cellule cancéreuse Nc(t) et le volume tumoral Vc.